放物線と直線の交点を原点と結ぶと三角形ができますが、辺がどれもななめで、底辺も高さもわからず困りますよね。実は、y軸で2つの三角形に分けるだけで、かんたんに面積が求められます。この記事では、放物線と直線でできる三角形の面積の求め方を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- ななめの三角形を、y軸で2つに分ける考え方
- 底辺は直線の切片、高さは交点の x 座標の絶対値
- 面積を「切片 ×（右の x − 左の x）÷ 2」でまとめて確かめる方法
- 面積を2等分する直線の求め方
- よくある間違い（高さがマイナス・底辺に交点の y 座標を使う）
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 三角形の面積の求め方（3つの約束）
ななめに置いたケーキを、y軸のナイフでまっすぐ切るイメージです。
- ① y軸で2つの三角形に分ける（切り口の上のはしは、直線とy軸の交点 C）
- ② 底辺は直線の切片（切り口 OC の長さ）
- ③ 高さは交点の x 座標の絶対値（長さはマイナスにならない）
② 例題
例題1 y ＝ x² と y ＝ x ＋ 6 の交点A・Bと原点Oでできる三角形OABの面積
x² ＝ x ＋ 6 → x² − x − 6 ＝ 0 → （x − 3）（x ＋ 2）＝ 0 より、A（−2, 4）、B（3, 9）。切片は6。左：6 × 2 ÷ 2 ＝ 6、右：6 × 3 ÷ 2 ＝ 9。6 ＋ 9 ＝ 15。まとめて 6 ×（3 −（−2））÷ 2 ＝ 15 と確かめられます。
例題2 y ＝ （1/2）x² と y ＝ x ＋ 4（A（−2, 2）、B（4, 8））
切片は4。左：4 × 2 ÷ 2 ＝ 4、右：4 × 4 ÷ 2 ＝ 8。4 ＋ 8 ＝ 12。確かめは 4 ×（4 −（−2））÷ 2 ＝ 12。
例題3 y ＝ x² と y ＝ 2x ＋ 8 でできる三角形OABの面積を2等分する、原点を通る直線
A（−2, 4）、B（4, 16）、切片8。面積は 8 × 2 ÷ 2 ＋ 8 × 4 ÷ 2 ＝ 8 ＋ 16 ＝ 24。原点を通って面積を半分にする直線は、ABの中点を通ります。中点は（（−2＋4）÷2, （4＋16）÷2）＝（1, 10）なので、傾きは10。y ＝ 10x。
③ よくある間違い
間違い①：高さにマイナスのx座標をそのまま使う
y ＝ x² と y ＝ −x ＋ 2 では、A（−2, 4）、B（1, 1）、切片2。左を 2 ×（−2）÷ 2 ＝ −2 としてはいけません。高さは絶対値で、左：2 × 2 ÷ 2 ＝ 2、右：2 × 1 ÷ 2 ＝ 1。2 ＋ 1 ＝ 3。面積がマイナスや0になったら、どこかでまちがえているサインです。
間違い②：底辺に交点のy座標を使う
例題1で、Bのy座標9を底辺にしてはいけません。y軸の上で三角形の中にあるのは0から6までです。底辺は直線の切片です。
間違い③：ななめの辺ABの長さを測ろうとする
この単元では、ななめの長さは使いません。「ななめの三角形はy軸で切る」が合言葉です。
④ 練習問題
問1：y ＝ x² と y ＝ x ＋ 12 の交点A・Bと原点Oでできる三角形OABの面積は？
問2：y ＝ x² と y ＝ −2x ＋ 3 の交点A・Bと原点Oでできる三角形OABの面積は？
答え
問1：x ＝ −3、4、切片12。12 × 3 ÷ 2 ＋ 12 × 4 ÷ 2 ＝ 18 ＋ 24 ＝ 42 ／ 問2：x² ＋ 2x − 3 ＝ 0 より x ＝ −3、1、切片3。3 × 3 ÷ 2 ＋ 3 × 1 ÷ 2 ＝ 4.5 ＋ 1.5 ＝ 6
まとめ
| ① 分ける | y軸で2つの三角形に分ける |
|---|---|
| ② 底辺 | 直線の切片 |
| ③ 高さ | 交点の x 座標の絶対値（マイナスは外す） |
次回は「いろいろな関数」。階段のようなふしぎなグラフが出てきます。
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