グラフを見ると放物線と直線がぶつかっていますが、目もりのあいだにある交点は読みとれませんよね。実は、放物線と直線の交点は、計算でぴったり求められます。使うのは中3二次方程式で学んだ解き方です。この記事では、交点の求め方を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 交点は「どちらの式も成り立つ点」であること
- y を消して二次方程式をつくり、因数分解で x を求める手順
- x が出たら y も出して、（x, y）の組で答えること
- 交点から直線の式や a を求める逆の問題
- よくある間違い（x で止まる・移項の符号ミス）
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 交点の求め方（3ステップ）
交点は、放物線の上にも直線の上にもある点です。2本の道の交差点のように、どちらの式も成り立ちます。手順は次の3つです。
- ① 2つの式から y を消す（右辺どうしを等号で結ぶ）
- ② 二次方程式を解いて x を出す
- ③ x を代入して y も出す
② 例題
例題1 y ＝ x² と y ＝ 2x ＋ 3 の交点の座標
x² ＝ 2x ＋ 3 → 移項して x² − 2x − 3 ＝ 0 → （x − 3）（x ＋ 1）＝ 0 → x ＝ 3、−1。y は y ＝ x² に代入して、x ＝ 3 のとき 9、x ＝ −1 のとき 1。直線でも 2 × 3 ＋ 3 ＝ 9、2 ×（−1）＋ 3 ＝ 1 と一致します。答えは A（−1, 1）、B（3, 9）。
例題2 y ＝ x² と直線が x ＝ −2、4 で交わる。直線の式は？
交点は（−2, 4）と（4, 16）。傾きは（16−4）÷（4−（−2））＝ 2（第6回の a（p＋q）でも 1 ×（−2＋4）＝ 2）。（−2, 4）を代入して 4 ＝ −4 ＋ b より b ＝ 8。y ＝ 2x ＋ 8。
例題3 y ＝ ax² と y ＝ x ＋ 4 が、x 座標 −2 の点Aで交わる。a は？
直線に x ＝ −2 を入れると y ＝ 2 なので A（−2, 2）。放物線に代入して 2 ＝ 4a より a ＝ 1/2。わかっている式から先に使うのがコツです。
例題4 例題3のもう1つの交点B
（1/2）x² ＝ x ＋ 4 の両辺を2倍して x² − 2x − 8 ＝ 0 → （x − 4）（x ＋ 2）＝ 0 → x ＝ 4、−2。−2 はAなので、B は x ＝ 4、y ＝ 8。B（4, 8）。
③ よくある間違い
間違い①：x を出したところで止まる
x ＝ 3、−1 だけでは点が決まりません。「座標を求めなさい」なら、y まで出して（x, y）の組で答えます。x を代入して出した y は、そのx とペアにしましょう。
間違い②：移項で符号を変え忘れる
y ＝ x² と y ＝ −x ＋ 6 では x² ＝ −x ＋ 6。移項すると x² ＋ x − 6 ＝ 0（x² − x ＋ 6 ではありません）。（x ＋ 3）（x − 2）＝ 0 より x ＝ −3、2、交点は （−3, 9）と（2, 4）。因数分解できなくて困ったら、まず移項の符号を見直しましょう。
間違い③：y を出すとき、別の x と組み合わせる
x ＝ −1 に y ＝ 9 をくっつけると、放物線にも直線にも乗らない点になります。放物線と直線の両方に代入して、同じ y になるか確かめましょう。
④ 練習問題
問1：y ＝ x² と y ＝ x ＋ 12 の交点の座標は？
問2：y ＝ x² と y ＝ 3x ＋ 10 の交点の座標は？
答え
問1：x² − x − 12 ＝ 0 → （x − 4）（x ＋ 3）＝ 0 → （4, 16）と（−3, 9） ／ 問2：x² − 3x − 10 ＝ 0 → （x − 5）（x ＋ 2）＝ 0 → （5, 25）と（−2, 4）
まとめ
| ① y を消す | 右辺どうしを等号で結び、二次方程式にする |
|---|---|
| ② x を出す | 移項の符号に注意して因数分解（だめなら解の公式） |
| ③ y も出す | （x, y）の組で答える |
次回は「放物線と直線でできる三角形の面積」。交点を使って面積を求めます。
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