y ＝ ax² の変域は、x の両はしの値を入れるだけでは求められません。落とし穴はx が 0 をまたぐときです。この記事では、y ＝ ax² の変域の求め方を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 変域とは何か
- 変域を求める3ステップ
- x が 0 をまたがないときの求め方
- x が 0 をまたぐときは、頂点の y ＝ 0 が最大か最小になること
- 変域の書き方の注意（小さいほうを左に）
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 変域とは、変域を求める3ステップ
変数がとれる値の範囲を変域といいます。「−1 ≦ x ≦ 2 のときの y の変域」なら、その x の範囲で y がとる値の範囲を答えます。
- グラフを思いうかべる
- x が 0 をまたぐか見る
- いちばん上といちばん下の y を読む
ジェットコースターの乗る区間にたとえると、区間の中に谷底が入っていれば、いちばん低い所は谷底です。乗り場とおり場だけ見てもわかりません。
② 例題
例題1 y ＝ x² で 1 ≦ x ≦ 3（0をまたがない）
x ＝ 1 で y ＝ 1、x ＝ 3 で y ＝ 9。1 ≦ y ≦ 9。
例題2 y ＝ x² で −3 ≦ x ≦ −1（0をまたがない）
x ＝ −3 で y ＝ 9、x ＝ −1 で y ＝ 1。1 ≦ y ≦ 9。x が負の側では、はしの大小の取りちがえに注意です。
例題3 y ＝ x² で −2 ≦ x ≦ 3（0をまたぐ）
両はしは y ＝ 4 と 9。でも x ＝ 0 が範囲に入っているので、いちばん下は頂点の 0。0 ≦ y ≦ 9。
例題4 y ＝ 2x² で −1 ≦ x ≦ 2（0をまたぐ）
両はしは 2 と 8。0 をまたぐので最小は 0。0 ≦ y ≦ 8。
例題5 y ＝ −2x² で −1 ≦ x ≦ 3（0をまたぐ）
下に開くグラフなので、頂点 0 が最大。x ＝ −1 で −2、x ＝ 3 で −18 なので、−18 ≦ y ≦ 0。
例題6 y ＝ ax² で −2 ≦ x ≦ 4 のとき 0 ≦ y ≦ 8。a は？
0 をまたぐので最小は 0、最大は x ＝ 4 のとき。16a ＝ 8 より a ＝ 1/2。
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：両はしの x を入れただけで答える
y ＝ x² で −3 ≦ x ≦ 1 を「1 ≦ y ≦ 9」とするのは間違い。0 をまたぐので 0 ≦ y ≦ 9 です。
間違い②：小さいほうを左に書かない
y ＝ −x² で 1 ≦ x ≦ 3 のとき、y は −1 と −9。−9 ≦ y ≦ −1 と書きます（−1 ≦ y ≦ −9 は間違い）。
間違い③：負の区間ではしの大小を取りちがえる
x が負のときは、0 から遠いほうが y の絶対値が大きくなります。グラフを思いうかべて確かめましょう。
④ 練習問題
問1：y ＝ 3x² で 1 ≦ x ≦ 2 のときの y の変域は？
問2：y ＝ −x² で −2 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域は？
答え
問1：3 ≦ y ≦ 12 ／ 問2：0 をまたぐので最大は 0、x ＝ 3 で −9。−9 ≦ y ≦ 0
まとめ
| ① まず確認 | x は 0 をまたぐか？ |
|---|---|
| ② またぐ | 頂点の y ＝ 0 が最小（下に開くなら最大） |
| ③ 書き方 | 小さいほうを左に書く |
次回は、y ＝ ax² の変化の割合を、公式 a（p＋q）も使って解説します。
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