1次関数の変化の割合はいつも同じでしたが、y ＝ ax² では区間によって変わります。この記事では、y ＝ ax² の変化の割合の求め方と、一発で出せる公式 a（p＋q）を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 変化の割合 ＝ y の増加量 ÷ x の増加量
- y ＝ ax² の変化の割合は区間によってちがうこと
- x が p から q まで増加するときは a（p＋q）で求められること
- 公式が成り立つ理由
- 公式を使うときのよくある間違い
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 変化の割合とは
変化の割合 ＝ y の増加量 ÷ x の増加量。自転車でのぼる坂にたとえると、1次関数はずっと同じ急さの坂、y ＝ ax² はのぼるほど急になる坂です。変化の割合は、その区間の平均の急さを表します。
y ＝ x² で比べてみましょう。x が 1 から 3 まで増えると、（9−1）÷ 2 ＝ 4。x が 3 から 5 まで増えると、（25−9）÷ 2 ＝ 8。区間によって変わります。
② 例題
例題1 y ＝ 2x² で、x が 1 から 4 まで増加
x ＝ 1 で y ＝ 2、x ＝ 4 で y ＝ 32。（32−2）÷（4−1）＝ 10。
例題2 公式 a（p＋q）
y ＝ ax² で x が p から q まで増加するときの変化の割合は a（p＋q）。例題1なら 2 ×（1＋4）＝ 10 で、同じ答えになります。
例題3 y ＝ −x² で、x が −4 から −2 まで増加
−1 ×（−4 ＋ −2）＝ −1 × （−6）＝ 6。（−4−（−16））÷ 2 ＝ 6 と一致します。
例題4 y ＝ 3x² で、x が −1 から 5 まで増加
3 ×（−1 ＋ 5）＝ 12。
例題5 y ＝ ax² で x が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合が −24。a は？
a ×（2＋6）＝ −24 より a ＝ −3。
なぜ a（p＋q）になるの？
（aq² − ap²）÷（q − p）＝ a（q＋p）（q−p）÷（q−p）＝ a（p＋q）。q − p で約分できるから、とてもシンプルな形になるのです。
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：x の増加量 ÷ y の増加量と逆にわる
y ＝ x² で x が 2 から 4 のとき、正しくは（16−4）÷ 2 ＝ 6。逆にして 2 ÷ 12 ＝ 1/6 とするのは間違いです。
間違い②：a（p×q）とかけ算にする
y ＝ 2x² で x が 1 から 3 のとき、正しくは 2 ×（1＋3）＝ 8。2 × 1 × 3 ＝ 6 は間違いです。
間違い③：負の数の増加量で符号をまちがえる
x が −3 から 1 のときは p ＝ −3、q ＝ 1。p ＋ q ＝ −2 と、負の数を足すときの符号に気をつけましょう。公式で出したら、ふつうの方法で1回だけ確かめるのがおすすめです。
④ 練習問題
問1：y ＝ 4x² で、x が 1 から 2 まで増加するときの変化の割合は？
問2：y ＝ −3x² で、x が −3 から 1 まで増加するときの変化の割合は？
答え
問1：4 ×（1＋2）＝ 12 ／ 問2：−3 ×（−3＋1）＝ 6
まとめ
| ① 定義 | 変化の割合 ＝ y の増加量 ÷ x の増加量 |
|---|---|
| ② 公式 | x が p から q まで増加 → a（p＋q） |
| ③ 確かめ | 公式で出したら、ふつうの方法で1回確かめる |
次回は、変化の割合の考え方を使って、平均の速さの求め方を解説します。
コメント