坂を転がるボールのように、速さがどんどん変わるとき、「平均の速さ」はどう求めればいいのでしょうか。実は、前の回で学んだ変化の割合がそのまま使えます。この記事では、y ＝ ax² の平均の速さの求め方を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 平均の速さ ＝ 進んだ道のり ÷ かかった時間
- y ＝ ax² では、平均の速さ ＝ 変化の割合
- p秒後からq秒後までなら a（p＋q）で一発
- 表から読みとる問題、a や時間を逆に求める問題
- よくある間違い（0秒から計算する・道のりをそのまま速さにする）
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 平均の速さとは
平均の速さ ＝ 進んだ道のり ÷ かかった時間。途中で速くなったりゆっくりになったりしても、この求め方は同じです。駅から駅まで走る電車のように、「区間の道のり ÷ かかった時間」で考えます。
y は道のり、x は時間なので、道のりの増加量が y の増加量、時間の増加量が x の増加量です。つまり y ＝ ax² では、平均の速さ ＝ 変化の割合。グラフでは、2つの点を結んだ直線の急さにあたります。だから、p秒後からq秒後までなら a（p＋q）が使えます。
② 例題
例題1 y ＝ 3x² で、1秒後から3秒後までの平均の速さ
1秒後は3m、3秒後は27m。（27−3）÷（3−1）＝ 24 ÷ 2 ＝ 秒速12m。確かめは 3 ×（1＋3）＝ 12。答えには「秒速」と「m」をつけます。
例題2 表から、2秒後から4秒後までの平均の速さ
時間 0・1・2・3・4 秒に対して、道のりが 0・0.5・2・4.5・8 m。（8−2）÷（4−2）＝ 6 ÷ 2 ＝ 秒速3m。表の問題は、ひき算とわり算で解くのがいちばん安心です（表は y ＝（1/2）x² で、（1/2）×（2＋4）＝ 3 とも一致します）。
例題3 y ＝ ax² で、1秒後から5秒後までの平均の速さが秒速12m。a は？
a ×（1＋5）＝ 12 より a ＝ 2。確かめは（50−2）÷（5−1）＝ 12。
例題4 y ＝ 3x² で、0秒から何秒後までなら平均の速さが秒速15m？
3 ×（0＋t）＝ 3t ＝ 15 より t ＝ 5（5秒後まで）。確かめは 75 ÷ 5 ＝ 15。0秒からの区間なら、平均の速さはいつも a × t です。
例題5 y ＝ 3x² で、0〜2秒と2〜4秒の平均の速さをくらべる
0〜2秒は 12 ÷ 2 ＝ 6、2〜4秒は（48−12）÷ 2 ＝ 18。同じ2秒間でも、あとのほうが3倍速い。ボールがどんどん加速しているからです。
③ よくある間違い
間違い①：「2秒後から」なのに0秒から計算する
y ＝ 2x² で2秒後から4秒後まで。32 ÷ 4 ＝ 8 は、0秒から4秒後までの平均の速さです。正しくは（32−8）÷（4−2）＝ 秒速12m（2 ×（2＋4）＝ 12）。「何秒後から何秒後まで」に線を引いて、p と q を先に決めましょう。
間違い②：道のりをそのまま速さにする
y ＝ 4x² で1秒後から3秒後まで。36−4 ＝ 32 は進んだ道のり（m）です。時間の2秒でわって 秒速16m（4 ×（1＋3）＝ 16）。「秒速」がついたら速さ、メートルだけなら道のり、と見直しましょう。
間違い③：表で時間の増加量を秒数そのものにする
時間の増加量は「あとの時間−はじめの時間」。2秒後から4秒後なら 4−2 ＝ 2秒で、4秒ではありません。
④ 練習問題
問1：y ＝ 2x² で、3秒後から5秒後までの平均の速さは？
問2：y ＝ 4x² で、0秒から3秒後までの平均の速さは？
答え
問1：（50−18）÷ 2 ＝ 秒速16m（2 ×（3＋5）＝ 16） ／ 問2：36 ÷ 3 ＝ 秒速12m（4 × 3 ＝ 12）
まとめ
| ① 平均の速さ | 進んだ道のり ÷ かかった時間 |
|---|---|
| ② y ＝ ax² では | 平均の速さ ＝ 変化の割合 ＝ a（p＋q） |
| ③ 注意 | 「何秒後から何秒後まで」に線を引き、答えには秒速をつける |
次回は「放物線と直線の交点」。二次方程式の知識が大活躍します。
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