DE∥BC のとき、AD:DB と AD:AB のどちらを使えばよいか、迷ったことはありませんか。この記事では、三角形と線分の比を、部分の比と全体の比のちがいに注目して、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「相似」第5回）。
この記事でわかること
- DE∥BC のとき AD:AB＝AE:AC＝DE:BC が成り立つこと
- AD:DB＝AE:EC も成り立つこと
- 部分の比と全体の比のちがい
- 逆（比が等しければ平行）の使い方
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とだいふくの掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 平行線と比の約束（3つ）
- ① DE∥BC なら AD:AB＝AE:AC＝DE:BC
- ② AD:DB＝AE:EC も成り立つ
- ③ 逆：AD:AB＝AE:AC なら DE∥BC
ピザのカットで考えましょう。ピザ全体の切れ目までの長さと、切れ目から先の残りの長さは別の長さです。小さい三角形の辺を前に、大きい三角形の辺を後ろにそろえ、部分は部分どうし、全体は全体どうしで比べます。
② 例題
例題1 DE∥BC、AD:DB＝2:3、EC＝9cm のとき AE は？
AD:DB＝AE:EC → 2:3＝AE:9 → 3AE＝18 → AE＝ 6cm。
例題2 DE∥BC、AD＝3cm、DB＝2cm、BC＝10cm のとき DE は？
AB＝3＋2＝5cm。AD:AB＝DE:BC → 3:5＝DE:10 → 5DE＝30 → DE＝ 6cm。
例題3 AD＝6cm、AB＝9cm、AE＝8cm、AC＝12cm のとき DE∥BC と言える？
AD:AB＝6:9＝2:3、AE:AC＝8:12＝2:3 で、∠Aが共通。△ADE∽△ABC となり、同位角が等しいので DE∥BC と言えます。
例題4 DE∥BC、AD＝6cm、DB＝3cm、AE＝8cm のとき EC は？
AD:DB＝AE:EC → 6:3＝8:EC → 6EC＝24 → EC＝ 4cm。
③ よくある間違い
間違い①：DE と BC の比に、AD:DB を使ってしまう
DE∥BC、AD＝4cm、DB＝2cm、BC＝9cm のとき、AD:DB＝DE:BC と立てると DE＝18cm になり、BCより長くておかしいです。AB＝6cm なので、正しくは AD:AB＝DE:BC → 4:6＝DE:9 → DE＝ 6cm。
間違い②：部分と全体を取りちがえる
AD:DB（部分）と AD:AB（全体）は別の比です。DE:BC と組むのは全体の比です。
間違い③：見た目で平行と決めつける
AD＝3cm、AB＝8cm、AE＝4cm、AC＝9cm のとき、3:8 と 4:9 は等しくないので、平行とは言えません。
④ 練習問題
問1：DE∥BC、AD＝5cm、DB＝3cm、DE＝10cm のとき BC は？
問2：DE∥BC、AE＝4cm、EC＝6cm、BC＝20cm のとき DE は？
問3：AD＝4cm、AB＝10cm、AE＝6cm、AC＝15cm のとき DE∥BC と言える？
答え
問1：AB＝8cm、5:8＝10:BC → BC＝ 16cm ／ 問2：AC＝10cm、4:10＝DE:20 → DE＝ 8cm ／ 問3：4:10＝6:15＝2:5 なので DE∥BC と言えます
まとめ
| ① 全体の比 | AD:AB＝AE:AC＝DE:BC |
|---|---|
| ② 部分の比 | AD:DB＝AE:EC |
| ③ 逆 | 比が等しければ DE∥BC |
次回は「平行線と線分の比（3本の平行線）」。はしごの絵で、比のとり方を学びます。
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