図の中にかくれた相似な三角形を見つけて、分からない辺の長さを求めるにはどうすればよいでしょうか。この記事では、相似な三角形の見つけ方と辺の長さの求め方を、重なり型・向かい合い型で、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「相似」第3回）。
この記事でわかること
- 共通な角・対頂角・平行線の角という3つのヒント
- 重なり型・向かい合い型・直角三角形の型
- 対応する頂点を順に書くこと
- 比例式を立てて、外項の積＝内項の積で解く方法
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とだいふくの掛け合いで進みます。動画は約11分です。
① 見つけ方の約束（3つ）
- ① 共通な角・対頂角・平行線の角に注目する
- ② 対応する頂点を順に書く
- ③ 比例式を立てて、外項の積＝内項の積で解く
図の中には、かくれた2つの三角形が見つかります。相似探偵になった気分で、まず3つのヒントで相似を見つけ、次に対応を順に書いてから比例式を作りましょう。
② 例題
例題1 DE∥BC、AD＝4cm、AB＝10cm、DE＝6cm のとき BC は？
△ADE∽△ABC（∠Aが共通、DE∥BCで同位角が等しい）。AD:AB＝DE:BC → 4:10＝6:BC → 4×BC＝60 → BC＝ 15cm。
例題2 DE∥BC、AD＝6cm、DB＝3cm、BC＝12cm のとき DE は？
AB＝6＋3＝9cm。AD:AB＝DE:BC → 6:9＝DE:12 → 9×DE＝72 → DE＝ 8cm。
例題3 AB∥CD、OA＝6cm、OB＝4cm、OC＝9cm のとき OD は？
△OAB∽△OCD（対頂角と錯角）。OA:OC＝OB:OD → 6:9＝4:OD → 6×OD＝36 → OD＝ 6cm。
例題4 ∠A＝90°、AB＝15cm、AC＝20cm、BC＝25cm、AH⊥BC のとき BH は？
△HBA∽△ABC（∠Bが共通、直角が等しい）。BH:BA＝BA:BC → BH:15＝15:25 → 25×BH＝225 → BH＝ 9cm。
③ よくある間違い
間違い①：対応する辺を斜めに取りちがえる
AB∥CD、OA＝8cm、OB＝6cm、OC＝12cm のとき、OA:OD＝OB:OC と立てると OD＝16cm になり誤りです。正しくは OA:OC＝OB:OD → 8:12＝6:OD → OD＝ 9cm。
間違い②：比の向きを逆にして立てる
DE∥BC、AD＝3cm、AB＝8cm、BC＝24cm のとき、逆に 3:8＝24:DE と立てると DE＝64cm で、BCより長くなっておかしいです。正しくは 3:8＝DE:24 → DE＝ 9cm。
間違い③：部分と全体を混ぜる
AD:DB（部分）と AD:AB（全体）はちがう比です。DE:BC と組むのは、全体の AD:AB です。
④ 練習問題
問1：DE∥BC、AD＝2cm、DB＝4cm、BC＝15cm のとき DE は？
問2：AB∥CD、OA＝3cm、OC＝12cm、OB＝5cm のとき OD は？
問3：例題4の図で AH は？
答え
問1：AB＝6cm、2:6＝DE:15 → DE＝ 5cm ／ 問2：3:12＝5:OD → 3×OD＝60 → OD＝ 20cm ／ 問3：AH:AC＝AB:BC → AH:20＝15:25 → AH＝ 12cm
まとめ
| ① 見つける | 共通な角・対頂角・平行線の角 |
|---|---|
| ② 対応 | 頂点を順に書く |
| ③ 解く | 外項の積＝内項の積 |
次回は「相似の証明の書き方」。4ステップの型にはめて、迷わず書けるようにします。
コメント