x²−81 や x²＋12x＋36 のような式は、公式を逆向きに使うとすぐに因数分解できます。この記事では、平方の公式と和と差の積を逆向きに使う因数分解と、どの方法を使うかの見分け方を、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「展開と因数分解」第9回）。
この記事でわかること
- a²＋2ab＋b²＝(a＋b)² の逆向きの使い方
- a²−b²＝(a＋b)(a−b) の逆向きの使い方
- 因数分解の順番（共通因数→公式→かけて・たして）
- 因数分解できない式の見分け方
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約10〜12分です。
① 因数分解の順番（3つ）
- ① まず、共通因数でくくる
- ② 次に、公式が使えないか見る
- ③ 最後に、かけて・たして
式を見て、まず「どの形か」を見分けます。同じ数を2回かけたものは正方形の形（平方の公式）、2乗−2乗の形は和と差の積です。
② 例題
例題1 x²＋12x＋36 を因数分解しよう
36＝6²、真ん中は 2×6＝12 で合うので (x ＋ 6)²。
例題2 x²−81 を因数分解しよう
81＝9² なので、和と差の積の逆向きで (x ＋ 9)(x − 9)。
例題3 4x²−25 を因数分解しよう
(2x)²−5² なので (2x ＋ 5)(2x − 5)。
例題4 2x²−18 を因数分解しよう
まず共通因数2でくくって 2(x²−9)。さらに公式で 2(x ＋ 3)(x − 3)。
③ よくある間違い
間違い①：真ん中の項を確かめずに、平方の公式と決めつける
x²＋10x＋16 を (x＋4)² としてしまうミス。(x＋4)² は x²＋8x＋16 で真ん中が合いません。かけて16、たして10 は2と8で、(x＋2)(x＋8)。
間違い②：x²＋9 を和と差の積にしてしまう
(x＋3)(x−3) は x²−9、(x＋3)² は x²＋6x＋9 で、どちらも x²＋9 にはなりません。x²＋9 は因数分解できません。
間違い③：共通因数でくくる前に公式を探して、くくり残しが出る
まず共通因数。2x²−18 は、2でくくってから公式を使います。
④ 練習問題
問1：9x²＋24x＋16 を因数分解しよう
問2：x²−20x＋100 を因数分解しよう
問3：5x²−20 を因数分解しよう
答え
問1：(3x)²と4²で、真ん中 2×3×4＝24 が合う。(3x ＋ 4)² ／ 問2：100＝10²、真ん中 −2×10＝−20。(x − 10)² ／ 問3：まず5でくくって 5(x²−4)。5(x ＋ 2)(x − 2)
まとめ
| ① 順番 | 共通因数 → 公式 → かけて・たして |
|---|---|
| ② 公式 | 平方の公式・和と差の積を逆向きに |
| ③ 注意 | x²＋9 は因数分解できない |
次回は「因数分解の利用」。計算の工夫と、いつも成り立つ説明に、因数分解を使います。
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