(x＋7)(x−7) を展開すると、なぜか真ん中の項がきれいに消えます。この記事では、和と差の積（a＋b）（a−b）＝a²−b²の公式を、消える理由から、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「展開と因数分解」第5回）。
目次
この記事でわかること
- (a＋b)(a−b)＝a²−b² の公式
- 真ん中の項が打ち消し合って消える理由
- 係数やマイナスがつくときの2乗
- (a−b)² との見分け方
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約10〜12分です。
① 和と差の積の約束（3つ）
- ① 同じ項と、符号だけがちがう項を、かけ合わせる形
- ② 答えは「前の項の2乗」ひく「後ろの項の2乗」
- ③ 真ん中の項は、打ち消し合って消える
展開すると、＋abと−abが打ち消し合って消えます。大きい正方形から小さい正方形をくり抜いた形を、切って並べかえると長方形になる、と考えても確かめられます。
② 例題
例題1 (x＋7)(x−7) を展開しよう
x²−7²＝x² − 49。
例題2 (4＋y)(4−y) を展開しよう
4²−y²＝16 − y²。
例題3 (3x＋2)(3x−2) を展開しよう
(3x)²−2²＝9x² − 4。
例題4 (−x＋5)(−x−5) を展開しよう
(−x)²−5²＝x² − 25。(−x)² はプラスのx²になります。
③ よくある間違い
間違い①：(a＋b)(a−b) を (a−b)² と混同する
(x＋9)(x−9) を x²−18x＋81 としてしまうミス。和と差の積は真ん中が消えて x²−81。x＝1 を入れると、左は−80、右の x²−18x＋81 は64で合いません。
間違い②：係数つきのとき、係数を2乗し忘れる
(3x)² は 3x² ではなく 9x²。
間違い③：前の項がマイナスのとき、2乗の符号に迷う
(−x)² は x²（マイナスを2乗するとプラス）。
④ 練習問題
問1：(x＋9)(x−9) を展開しよう
問2：(6a＋1)(6a−1) を展開しよう
問3：(2a＋3b)(2a−3b) を展開しよう
答え
問1：x² − 81 ／ 問2：36a² − 1 ／ 問3：4a² − 9b²
まとめ
| ① 形 | 同じ項と、符号だけちがう項の積 |
|---|---|
| ② 答え | 前の2乗 − 後ろの2乗 |
| ③ 真ん中 | 打ち消し合って消える |
次回は「展開のおきかえ」。長い式も、かたまりを1つの文字におきかえて、公式で展開するコツを学びます。
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