平方根は、√の計算ルールが多くて「どれを使えばいいかわからない」という声が多い単元です。この記事では、第1〜10回の内容を1枚の道具箱にまとめ、総仕上げテスト10問の答えと間違えやすいポイントを解説します（中3「平方根」総まとめ）。
この記事でわかること
- 平方根・根号の意味と、大小・有理数と無理数の見分け方
- √の積と商、根号の中を簡単にする直し方
- 分母の有理化と、√のたし算・ひき算・いろいろな計算
- 平方根の利用（整数部分・小数部分、面積から辺の長さ）
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約2時間10分です。章ごとに飛ばして見られます。
① 平方根の道具箱
- 基本：a の平方根は2乗して a になる数（正と負の2つ）。√a は正のほう
- 計算：√a×√b＝√(ab)、√a÷√b＝√(a/b)。根号の中は大きな平方数を外に出して簡単にする
- 有理化・たし引き：分母に√があれば分母分子に同じ√をかける。たし算・ひき算は √の中が同じものどうしだけ
平方根は「約束」を順に使えば、どの問題も同じ流れで解けます。動画は約2時間10分ですが、苦手な回だけ概要欄の章から見られます。
② 例題
問題1 √75 を a√b の形に直そう
75＝25×3 なので √75＝5√3。
問題2 3/√6 の分母を有理化しよう
分母分子に√6をかけて 3√6/6＝√6/2。
問題3 2√3 × 3√6 を計算しよう
6√18＝6×3√2＝18√2。
問題4 √48 − √27 ＋ √3 を計算しよう
√48＝4√3、√27＝3√3 なので 4√3−3√3＋√3＝2√3。
問題5 (√6 ＋ √2)(√6 − √2) を計算しよう
和と差の積で 6−2＝4。
問題6 (√3 ＋ 2)² を計算しよう
和の2乗で 3＋4√3＋4＝7 ＋ 4√3。
問題7 √7 の整数部分と小数部分を求めよう
4＜7＜9 で 2＜√7＜3。整数部分は2、小数部分は √7 − 2。
問題8 √(24n) が整数になる最小の自然数 n を求めよう
24＝2²×2×3 で余りは 2×3＝6。24×6＝144＝12² なので n＝6。
問題9 面積32cm²の正方形の1辺の長さを求めよう
1辺＝√32＝4√2 cm（約5.66cm）。
問題10 √8 ＋ √2 を計算しよう
√8＝2√2 なので 2√2＋√2＝3√2。
③ よくある間違い
間違い①：範囲が広くて、どこから手をつければいいかわからない
苦手な回だけ、動画の章（概要欄）から見直しましょう。まず「根号の中を簡単にする」ことから始めるとほとんどの問題が進みます。
間違い②：√の中までたしてしまう
問題10を √8＋√2＝√10 としないこと。√8＝2√2 に直せば、3√2 と正しくたし算できます（√10≒3.16、3√2≒4.24 で値も合いません）。
間違い③：根号の中を簡単にし忘れる
√75 を √(25×3) まで進めずに終わらせないこと。大きな平方数を外に出して 5√3 まで仕上げましょう。
④ 練習問題
問1：√50 を a√b の形に直そう
問2：5/√5 の分母を有理化しよう
問3：√12 ＋ √27 を計算しよう
答え
問1：50＝25×2。5√2 ／ 問2：分母分子に√5をかけて 5√5/5＝√5 ／ 問3：√12＝2√3、√27＝3√3 なので 5√3
まとめ
| ① 基本 | 平方根は2つ（正と負）。√a は正のほう |
|---|---|
| ② 計算 | 根号の中を簡単に → 有理化 → √の中が同じものどうしでたし引き |
| ③ 利用 | 整数部分・小数部分、面積から辺の長さ |
これで「平方根」は完成です。次の単元もお楽しみに！
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