【中3数学】分母の有理化とは？1/√2の計算を初心者でもわかるように解説

1/√2 のように、分母に√がある分数は、そのままでは「完成」ではありません。この記事では、分母の有理化のやり方を、分母と分子に同じ√をかける3ステップで、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「平方根」第7回）。

この記事でわかること

• 分母の有理化とは何か（分母から√をなくすこと）
• 分母と分子に同じ√をかけるやり方
• かけたあとの約分を忘れないこと
• 分子にだけ√をかけてはいけない理由

動画で確認したい方はこちら

モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約13分です。

① 有理化の約束（3つ）

• ① 分母に√があるときは、分母と分子に同じ√をかける
• ② 分母が√のない数（有理数）になる
• ③ 約分できるときは、約分して答えにする

分母の√は「頑固な数」です。√×√は√が外れて整数になる性質を使って、すっきり整数にしてあげます。分母と分子に同じ数をかけるのは「1をかける」ことなので、値は変わりません。

② 例題

例題1　1/√2 の分母を有理化しよう

分母と分子に √2 をかけて (1×√2)/(√2×√2)＝ √2/2。

例題2　3/√5 の分母を有理化しよう

分母と分子に √5 をかけて 3√5/5。

例題3　√2/√6 の分母を有理化しよう

√6 をかけて √12/6。√12＝2√3 なので 2√3/6 と約分して √3/3。

例題4　6/√12 の分母を有理化しよう

先に √12＝2√3 と直すと 6/(2√3)＝3/√3。√3 をかけて 3√3/3＝ √3。

③ よくある間違い

間違い①：分子にだけ√をかけてしまう

3/√5 を (3√5)/√5 としてしまうミス。分母にもかけないと値が変わります。(3√5)/√5 は3になり、3/√5（約1.34）とは別の数です。

間違い②：約分し忘れる

2/√6 は (2√6)/6 で止まらず、約分して √6/3 まで書きます。

間違い③：分母に√がある分数を、そのまま答えにする

5/√3 は、分母と分子に √3 をかけて 5√3/3 にしてから答えにします。

④ 練習問題

問1：12/√6 の分母を有理化しよう

問2：√5/√10 の分母を有理化しよう

問3：3/(2√3) の分母を有理化しよう

答え

問1：(12√6)/6 と約分して 2√6　／　問2：√5×√10＝√50＝5√2 なので 5√2/10 と約分して √2/2　／　問3：(3√3)/(2×3) と約分して √3/2

まとめ

① 方法	分母と分子に同じ√をかける
② 理由	√×√で√が外れ、分母が整数になる
③ 仕上げ	約分を忘れない

次回は「√のたし算・ひき算」。2√3＋√3 のような計算を学びます。