y ＝ ax² のグラフは、点を打ったあと「どうつなぐか」で別のものになってしまいます。定規でまっすぐつなぐと間違いです。この記事では、y ＝ ax² のグラフのかき方と、放物線の特ちょうを、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 表を作って点を打ち、なめらかにつなぐ手順
- 放物線の3つの特ちょう（原点を通る・y軸について左右対称・なめらかな曲線）
- 「軸」と「頂点」という言葉
- a が分数のとき、打ちやすい x の選び方
- 点がグラフの上にあるかの確かめ方
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 表を作って、なめらかにつなぐ
グラフは表からスタートします。y ＝ x² で x ＝ −3〜3 を調べると、y は 9、4、1、0、1、4、9。この7つの点を打ち、なめらかな曲線でつなぐと完成です。
この曲線を放物線といいます。物を放り投げたときの、ボールの通り道の形です。y ＝ ax² のグラフは、どれも放物線になります。
② 放物線の特ちょう
- 原点を通る（x ＝ 0 のとき y ＝ 0）
- y軸について左右対称（x ＝ 2 と x ＝ −2 で y が同じ）
- なめらかな曲線（原点のまわりも丸い）
折り目になる y軸を軸、軸と放物線が交わる点（原点）を頂点といいます。右半分をかいたら、左半分は鏡でうつすだけ。左右で高さがずれたら、どこかの点が間違っているサインです。
③ 例題
例題1 y ＝ 2x² のグラフ
x ＝ −2〜2 の表は、y ＝ 8、2、0、2、8。x ＝ 3 だと y ＝ 18 になって方眼からはみ出すので、方眼に入る x を選ぶのもコツです。（−2, 8）、（−1, 2）、（0, 0）、（1, 2）、（2, 8）を打ってなめらかにつなぎます。y ＝ x² より細い放物線になります。
例題2 y ＝ （1/4）x² のグラフ
x ＝ 1 だと y ＝ 1/4 で打ちにくいので、y が整数になる x を選びます。2乗して4でわり切れるのは x が2の倍数のとき。x ＝ −6、−4、−2、0、2、4、6 で y ＝ 9、4、1、0、1、4、9。y ＝ x² よりずっと横に広い放物線になります。
例題3 点（6, 9）と点（−6, −9）は y ＝ （1/4）x² のグラフの上にある？
x ＝ 6 を代入すると （1/4）× 36 ＝ 9 なので、（6, 9）は上にある。x ＝ −6 でも y ＝ 9 になるので、（−6, −9）は上にない。a が正の数なら、グラフは x軸より下にはきません。
④ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：点を定規で直線につなぐ
（1, 1）と（2, 4）を直線でつなぐと、x ＝ 1.5 のとき y ＝ 2.5 になります。本当は y ＝ 2.25。放物線は直線より少し内側を通ります。
間違い②：原点をV字にとがらせる
x ＝ 0.5 のとき y ＝ 0.25。原点の近くはほとんど平らで、底は丸くなっています。ハーフパイプの底がとがっていたら転んでしまいます。
間違い③：最後の点でグラフを止める
x ＝ 4 で y ＝ 16、x ＝ 5 で y ＝ 25。グラフは外側へずっと続きます。打った点で止めずに、のびていく形でかきましょう。
⑤ 練習問題
問1：y ＝ 3x² で、x ＝ −2、−1、0、1、2 のときの y を求めましょう。
問2：点（2, 12）と点（−2, −12）は、y ＝ 3x² のグラフの上にありますか。
答え
問1：12、3、0、3、12 ／ 問2：x ＝ 2 のとき y ＝ 12 なので（2, 12）は上にある。x ＝ −2 でも y ＝ 12 なので、（−2, −12）は上にない。
まとめ
| ① 点を打つ | 表を作る（y が整数になる x を選ぶと楽） |
|---|---|
| ② つなぐ | なめらかな曲線で。直線やV字はNG |
| ③ 特ちょう | 原点を通り、y軸について左右対称。軸は y軸、頂点は原点 |
次回は、a の値とグラフの形の関係（a がマイナスのときも）を解説します。
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