「x と y が1組わかっているだけで、式なんて決まるの？」と思いますよね。y が x の2乗に比例するなら、決まります。この記事では、y ＝ ax² の式の求め方を4つの手順で、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 式を求める4つの手順
- x が負の数のときの代入（かっこを忘れない）
- a が分数になる問題
- 式を求めてから y や x を求める問題
- 代入の順番・かっこ・向きのよくある間違い
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約11分です。
① 式を求める4つの手順
「y は x の2乗に比例する」と言われたら、式の形は y ＝ ax² と決まっています。わからないのは a だけ。名前だけ空らんの名札のようなものです。
- y ＝ ax² とおく
- わかっている x と y を代入する
- a を求める
- a を入れた式を書く
たとえば x ＝ 3 のとき y ＝ 36 なら、36 ＝ a × 3² ＝ 9a、a ＝ 36 ÷ 9 ＝ 4 で、y ＝ 4x²。最後に 4 × 9 ＝ 36 と確かめます。
② 例題
例題1 x ＝ 5 のとき y ＝ 75
75 ＝ a × 5² ＝ 25a より a ＝ 3。y ＝ 3x²。2乗を先に計算してから a を求める順番です。
例題2 x ＝ −2 のとき y ＝ 28
負の数はかっこをつけて代入します。28 ＝ a × （−2）² ＝ 4a より a ＝ 7。y ＝ 7x²。x が負でも2乗するとプラスなので、a はプラスのままです。
例題3 x ＝ 6 のとき y ＝ 9（a が分数）
9 ＝ 36a で、9 ÷ 36 は割り切れません。分数にして a ＝ 9/36 ＝ 1/4。y ＝ （1/4）x²。確かめは （1/4）× 36 ＝ 9 です。
例題4 x ＝ 2 のとき y ＝ −20。x ＝ 3 のときの y は？
−20 ＝ 4a より a ＝ −5、式は y ＝ −5x²。これに x ＝ 3 を代入して、y ＝ −5 × 9 ＝ −45。
例題5 y ＝ −5x² で y ＝ −80 になる x は？
−80 ＝ −5x² より x² ＝ 16、x ＝ ±4。平方根で解く二次方程式です。なお y ＝ 80 にすると x² ＝ −16 となり、そんな x はありません。
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：かっこを忘れて −3² と書く
x ＝ −3 のとき y ＝ 18 で「18 ＝ a × −3² ＝ −9a だから a ＝ −2」は間違い。正しくは 18 ＝ a × （−3）² ＝ 9a で a ＝ 2。y がプラスなのに a がマイナスになったら、どこかで間違えているサインです。
間違い②：x と y を逆に代入する
x ＝ 4 のとき y ＝ 8 を「4 ＝ a × 8²」としてしまうのが典型例。2乗するのは x のほうです。正しくは 8 ＝ a × 4² ＝ 16a で a ＝ 1/2。
間違い③：わる向きが逆
36 ＝ 9a を 9 ÷ 36 としてしまうミス。a を求めるときは、a にかかっている数でわります。
④ 練習問題
問1：y は x の2乗に比例し、x ＝ 3 のとき y ＝ −18。式を求めましょう。
問2：y は x の2乗に比例し、x ＝ −6 のとき y ＝ 12。式を求めましょう。
答え
問1：−18 ＝ 9a より a ＝ −2、y ＝ −2x² ／ 問2：12 ＝ （−6）² × a ＝ 36a より a ＝ 1/3、y ＝ （1/3）x²
まとめ
| ① 手順 | y ＝ ax² とおく → 代入 → a を求める → 式を書く |
|---|---|
| ② 負の数 | かっこをつけて2乗する |
| ③ 確かめ | はじめの x・y を入れて合っているか見る |
次回は、y ＝ ax² のグラフのかき方を解説します。まっすぐじゃない、ふしぎな曲線が出てきます。
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