(x＋y＋2)(x＋y−2) のような長い式は、全部かけると大変です。この記事では、同じかたまりを1つの文字におきかえて公式で展開する「おきかえ」を、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「展開と因数分解」第6回）。
この記事でわかること
- 同じかたまりを見つけて、1つの文字におきかえる手順
- おきかえたあと、公式で展開して、もとに戻す流れ
- −(かっこ)の符号の扱い
- どの公式を使うかの見分け方
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約10〜12分です。
① おきかえの手順（4つ）
- ① 同じかたまりを見つける
- ② かたまりを1つの文字におきかえる
- ③ 公式で展開する
- ④ もとの式に戻して整理する
複数の項を、1つの「どんぐりの袋」として見るイメージです。仮の名前（例えば M）をつけて公式に当てはめます。
② 例題
例題1 (x＋y＋2)(x＋y−2) を展開しよう
x＋y＝M とおくと (M＋2)(M−2)＝M²−4。戻して (x＋y)²−4 ＝ x² ＋ 2xy ＋ y² − 4。
例題2 (x＋y−3)² を展開しよう
x＋y＝M とおくと (M−3)²＝M²−6M＋9。戻して x² ＋ 2xy ＋ y² − 6x − 6y ＋ 9。
例題3 (a＋b＋1)(a＋b＋3) を展開しよう
a＋b＝M とおくと (M＋1)(M＋3)＝M²＋4M＋3。戻して a² ＋ 2ab ＋ b² ＋ 4a ＋ 4b ＋ 3。
例題4 (x＋2)² − (x−1)(x＋3) を計算しよう
(x²＋4x＋4) − (x²＋2x−3) ＝ x²＋4x＋4−x²−2x＋3 ＝ 2x ＋ 7。
③ よくある間違い
間違い①：おきかえた文字を、もとの式に戻し忘れる
M のまま答えにしないこと。最後は必ず x や y の式に戻して整理します。
間違い②：−(かっこ) の符号を、全部かえ忘れる
例題4の −(x²＋2x−3) は、中の符号を全部かえて −x²−2x＋3 にします。2x＋7 にならず 6x＋1 のようになったら、x＝1 を入れて確かめましょう（左は9）。
間違い③：おきかえた文字ごと2乗して、係数をまちがえる
M²＝(x＋y)² を展開するとき、真ん中の2xyを忘れないこと。
④ 練習問題
問1：(a−b＋5)(a−b−5) を展開しよう
問2：(x＋4)² − (x＋2)(x−2) を計算しよう
問3：(3x＋y−1)(3x＋y＋4) を展開しよう
答え
問1：a−b＝M とおくと M²−25。a² − 2ab ＋ b² − 25 ／ 問2：x²＋8x＋16 − (x²−4) ＝ 8x ＋ 20 ／ 問3：3x＋y＝M とおくと (M−1)(M＋4)＝M²＋3M−4。9x² ＋ 6xy ＋ y² ＋ 9x ＋ 3y − 4
まとめ
| ① 見つける | 同じかたまりを探す |
|---|---|
| ② おきかえ | 1つの文字にして公式を使う |
| ③ 戻す | もとの式に戻して整理する |
次回は「因数分解① 共通因数でくくる」。ここから、展開の逆向きの「因数分解」に入ります。
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