期末テストや入試の範囲が広くて、二次方程式のどこから復習すればいいかわからない。そんな中3生のために、二次方程式の総まとめを1本にまとめました。この記事では、10回分の要点と、新しい数字で作った総仕上げテストの10問を、解き方つきで解説します。
この記事でわかること
- 二次方程式の10回分（二次方程式とは〜文章題）の要点
- 平方根・因数分解・平方完成・解の公式の使い分け
- 総仕上げテストの10問（解き方つき）
- 最後のひっかけ（3x でわると解が消える）
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モコロ先生とボア太の掛け合いで進みます。苦手な所だけ見るなら、概要欄の章から飛べます。
① 10回分の要点
- 二次方程式とは：整理して2乗が残る方程式。解は2つ（双子）のことが多い
- 平方根で解く：x² ＝ k なら x ＝ ±√k。かっこの2乗は、かっこごとルートをとる
- 因数分解で解く：A × B ＝ 0 なら A ＝ 0 または B ＝ 0。まず右辺を0にする
- 平方完成：xの係数の半分の2乗を、両辺にたす
- 解の公式：x ＝ （−b ± √（b² − 4ac））/ 2a。a・b・c は符号ごと読む
- 答えの整え方：√を簡単にして、全部の項が同じ数でわれるときだけ約分
- 解き方の選び方：形を見る → 因数分解を10秒さがす → 解の公式
- 文章題：xを決めて式を作り、問題に合う解だけを残す
② 総仕上げテスト
問1 x² ＝ 45
x ＝ ±√45 ＝ ±3√5
問2 （x − 3）² ＝ 8
x − 3 ＝ ±2√2 → x ＝ 3 ± 2√2
問3 x² − 9x ＋ 14 ＝ 0
（x − 2）（x − 7）＝ 0 → x ＝ 2、7
問4 2x² ＝ 8x ＋ 10
移項して 2x² − 8x − 10 ＝ 0 → 2でわって x² − 4x − 5 ＝ 0 → （x − 5）（x ＋ 1）＝ 0 → x ＝ 5、−1
問5 x² ＋ 2x − 4 ＝ 0（平方完成で）
x² ＋ 2x ＝ 4 → 両辺に1をたして（x ＋ 1）² ＝ 5 → x ＝ −1 ± √5
問6 3x² ＋ x − 1 ＝ 0
a ＝ 3、b ＝ 1、c ＝ −1。b² − 4ac ＝ 1 ＋ 12 ＝ 13 → x ＝ （−1 ± √13）/6（b の「1」も忘れずに拾います）
問7 x² − 6x ＋ 3 ＝ 0（答えを整えて）
b² − 4ac ＝ 36 − 12 ＝ 24。x ＝ （6 ± √24）/2 ＝ （6 ± 2√6）/2 ＝ 3 ± √6
問8 （x ＋ 4）² ＝ 49（いちばん速い道具で）
平方根で x ＋ 4 ＝ ±7 → x ＝ 3、−11
問9 連続する2つの正の奇数の積が143
小さい方を x とすると大きい方は x ＋ 2。x（x ＋ 2）＝ 143 → x² ＋ 2x − 143 ＝ 0 → （x ＋ 13）（x − 11）＝ 0 → x ＝ 11、−13。正の奇数なので −13 は不合格。答え：11 と 13
問10 3x² ＝ 15x
両辺を 3x でわると x ＝ 5 だけになり、0 の解が消えます。移項して 3x² − 15x ＝ 0 → 3x（x − 5）＝ 0 → x ＝ 0、5
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：どの式も解の公式で解いて、時間が足りなくなる
入試では時間も大切です。形を見て、平方根・因数分解を先に考えましょう。
間違い②：±を忘れる・解を1つしか書かない
解は2つあるのが基本です。片方だけだと点が半分になることがあります。
間違い③：x でわって、解の0を消す
問10のように、x を含む数でわるのは禁止です。移項して因数分解します。
④ 練習問題
問1：x² − 7x ＋ 10 ＝ 0 を解きましょう。
問2：（x ＋ 1）² ＝ 12 を解きましょう。
問3：2x² ＝ 6x を解きましょう。
答え
問1：（x − 2）（x − 5）＝ 0 → x ＝ 2、5 ／ 問2：x ＋ 1 ＝ ±2√3 → x ＝ −1 ± 2√3 ／ 問3：2x² − 6x ＝ 0 → 2x（x − 3）＝ 0 → x ＝ 0、3
まとめ
| ① まず整理 | かっこは展開、右辺は0に。形を見る |
|---|---|
| ② 道具を選ぶ | 平方根・因数分解・解の公式（平方完成は公式のもと） |
| ③ 最後に確かめる | 解を全部出して、問題に合うものを残す |
わからなくなったら、各回の記事と動画に戻って復習しましょう。
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