√4 と √6 は、同じ「ルート」でも仲間がちがいます。この記事では、有理数と無理数の違いと、√5 の値を電卓なしでせまる方法を、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「平方根」第4回）。
この記事でわかること
- 分数で書ける数が有理数、書けない数が無理数だと分かる
- √の中が2乗の数なら、有理数になること
- 2乗してはさみうちにして、√の値をせまる方法
- √の中が100倍・100分の1になったときの値の動き
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モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約13分です。
① 数の仲間わけの約束（3つ）
- ① 分数で書ける数が有理数（整数・小数・くり返す小数）
- ② 分数で書けない数が無理数（√2・円周率πなど）
- ③ √の中が2乗の数なら、有理数
数の仲間わけは「分数で書けるかどうか」の入場ゲートです。ゲートを通れる数が有理数、通れない数が無理数。√4＝2＝2/1 は通れますが、√6＝2.4…は終わらない小数で通れません。
② 例題
例題1 √4、√6、0.5、1/7 を、有理数と無理数に分けよう
√4＝2、0.5＝1/2、1/7 は分数なので 有理数。√6 は2.4…と終わらないので 無理数。
例題2 √5 は、2.2と2.3のどちらの間？
2.2²＝4.84、2.3²＝5.29 で、4.84＜5＜5.29 なので 2.2＜√5＜2.3。
例題3 √5 の値を、小数第2位までせまろう
2.23²＝4.9729、2.24²＝5.0176 で 4.9729＜5＜5.0176 なので 2.23＜√5＜2.24。さらに 2.236²＝4.999696 から、√5≒2.236。
例題4 √2＝1.414 として、√200 と √0.02 の値を求めよう
√の中が100倍で値は10倍、100分の1で10分の1。√200＝14.14、√0.02＝0.1414。
③ よくある間違い
間違い①：√がつけば何でも無理数だと思う
√9＝3＝3/1 や √0.81＝0.9＝9/10 は分数で書けるので有理数です。√の中が2乗の数のときは、√が外れます。
間違い②：小数は、すべて無理数だと思う
0.5＝1/2 のように、終わる小数は分数で書けるので有理数です。無理数は、終わらず、くり返しもしない小数です。
間違い③：√の中が100倍のとき、値も100倍にしてしまう
√200 は √2 の100倍ではなく10倍です。√の中が100倍になると、値は10倍になります。
④ 練習問題
問1：√16、√10、0.25、2/3 を、有理数と無理数に分けよう
問2：√3 は、1.7と1.8のどちらの間？
問3：√3＝1.732 として、√300 と √0.03 の値を求めよう
答え
問1：有理数：√16（＝4）、0.25、2/3 ／ 無理数：√10 ／ 問2：1.7²＝2.89、1.8²＝3.24 で 2.89＜3＜3.24 なので 1.7＜√3＜1.8 ／ 問3：√300＝17.32、√0.03＝0.1732
まとめ
| ① 有理数 | 分数で書ける数 |
|---|---|
| ② 無理数 | 分数で書けない数（√2・πなど） |
| ③ 近似値 | 2乗してはさみうちで、範囲をせまくする |
次回は「√のかけ算・わり算」。√a×√b＝√ab の使い方を学びます。
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