展開と因数分解は、公式が多くて「どこから手をつければいいかわからない」という声がとても多い単元です。この記事では、第1〜10回の内容を1枚の道具箱にまとめ、総仕上げテスト10問の答えと間違えやすいポイントを解説します（中3「展開と因数分解」総まとめ）。
この記事でわかること
- 展開の道具（分配法則・乗法公式・おきかえ）の使い分け
- 因数分解の道具（共通因数・かけてたして・公式）を使う順番
- 因数分解の利用（計算の工夫・式の説明）
- テストでよく出る、くくり残しなどのミスの防ぎ方
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約2時間です。章ごとに飛ばして見られます。
① 展開と因数分解の道具箱
- 展開：分配法則 → 4つのかけ算 → 乗法公式（(x＋a)(x＋b)・平方の公式・和と差の積）→ おきかえ
- 因数分解：まず共通因数でくくる → 公式が使えるか見る → かけて・たして
- 確かめ：展開は数を入れて左右を比べる、因数分解は展開してもとに戻るか見る
因数分解は展開の逆向きです。「どの道具を使うか」を見分けられれば、あとは落ち着いて計算するだけです。動画は約2時間ですが、苦手な回だけ概要欄の章から見られます。
② 例題
問題1 (2x＋3)(x−4) を展開しよう
4つのかけ算で 2x²−8x＋3x−12＝2x² − 5x − 12。
問題2 (x＋7)(x−3) を展開しよう
乗法公式①。和は4、積は−21 なので x² ＋ 4x − 21。
問題3 (3x−2)² を展開しよう
平方の公式で (3x)²−2×3x×2＋2²＝9x² − 12x ＋ 4。
問題4 (4a＋5)(4a−5) を展開しよう
和と差の積で (4a)²−5²＝16a² − 25。
問題5 (x＋y＋3)(x＋y−3) を展開しよう
x＋y＝M とおくと M²−9。戻して x² ＋ 2xy ＋ y² − 9。
問題6 6x²y−9xy² を因数分解しよう
共通因数 3xy でくくって 3xy(2x − 3y)。
問題7 x²−x−42 を因数分解しよう
かけて−42、たして−1 → −7と6。(x − 7)(x ＋ 6)。
問題8 3x²−12x＋12 を因数分解しよう
先に3でくくって 3(x²−4x＋4)。さらに平方の公式で 3(x − 2)²。
問題9 105²−95² を工夫して計算しよう
(105＋95)(105−95)＝200×10＝2000。
問題10 4x²−36 を因数分解しよう
先に4でくくって 4(x²−9)。さらに 4(x ＋ 3)(x − 3)。
③ よくある間違い
間違い①：どの道具を使うか迷って、手が止まる
展開は「かっこの形」を見て、因数分解は「まず共通因数」から始めます。苦手な回だけ、動画の章から見直しましょう。
間違い②：くくり残しをしてしまう
問題10を (2x＋6)(2x−6) で終わりにすると、まだ2でくくれます。先に4でくくれば、4(x＋3)(x−3) まで正しくたどり着けます。
間違い③：展開と因数分解の符号を取りちがえる
x²−x−42 を (x＋7)(x−6) としないこと。展開して x²＋x−42 になり、真ん中の符号が合いません。数を入れて確かめましょう。
④ 練習問題
問1：(x＋4)(x−9) を展開しよう
問2：2x²−8 を因数分解しよう
問3：x²＋14x＋49 を因数分解しよう
答え
問1：乗法公式①。和は−5、積は−36。x² − 5x − 36 ／ 問2：先に2でくくって 2(x²−4)。2(x ＋ 2)(x − 2) ／ 問3：49＝7²、真ん中 2×7＝14。(x ＋ 7)²
まとめ
| ① 展開 | 形を見て、道具（分配法則・公式・おきかえ）を選ぶ |
|---|---|
| ② 因数分解 | 共通因数 → 公式 → かけて・たして の順 |
| ③ 確かめ | 数を入れる／展開してもとに戻す |
これで「展開と因数分解」は完成です。次の単元もお楽しみに！
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