【中3数学】平方の公式（a＋b）²の展開｜真ん中の2abを忘れない覚え方

(a＋b)² を a²＋b² としてしまい、真ん中の項を忘れるミスは本当に多いです。この記事では、平方の公式（a＋b）²・（a−b）²の展開を、真ん中の2abを忘れない覚え方で、例題・よくある間違い・練習問題つきで解説します（中3「展開と因数分解」第4回）。

この記事でわかること

• (a＋b)²＝a²＋2ab＋b² の意味
• (a−b)²＝a²−2ab＋b² の符号
• 係数がついたときの2乗の計算
• 正方形の面積で、2abの正体を見る方法

動画で確認したい方はこちら

モコロ先生とあられの掛け合いで進みます。動画は約10〜12分です。

① 平方の公式の約束（3つ）

• ① 最初の項と最後の項は、それぞれ2乗する
• ② 真ん中の項は、2つをかけて2倍する
• ③ 真ん中の符号は、かっこの中の符号と同じ

1辺が(a＋b)の正方形の畑を4つに分けると、a²・b²と、まん中の2つの長方形（ab が2つ）になります。これが「2ab」の正体です。

② 例題

例題1　(x＋3)² を展開しよう

x²、2×x×3＝6x、3²＝9 なので x² ＋ 6x ＋ 9。

例題2　(x−4)² を展開しよう

x²、−2×x×4＝−8x、(−4)²＝＋16 なので x² − 8x ＋ 16。

例題3　(2x＋3)² を展開しよう

(2x)²＝4x²、2×2x×3＝12x、3²＝9 なので 4x² ＋ 12x ＋ 9。

例題4　(3x−y)² を展開しよう

(3x)²＝9x²、−2×3x×y＝−6xy、y² なので 9x² − 6xy ＋ y²。

③ よくある間違い

間違い①：(a＋b)²＝a²＋b² と書いて、真ん中を忘れる

(x＋3)² を x²＋9 としてしまうミス。x＝1 を入れると、左は16、右は10で合いません。正しくは x²＋6x＋9。

間違い②：(x−4)² の最後を −16 にする

−4 を2乗するとプラスになるので、最後は ＋16。

間違い③：係数つきのとき、係数を2乗し忘れる

(2x)² は 2x² ではなく 4x²。

④ 練習問題

問1：(y−7)² を展開しよう

問2：(4a−1)² を展開しよう

問3：(2a−3b)² を展開しよう

答え

問1：y² − 14y ＋ 49　／　問2：16a² − 8a ＋ 1　／　問3：4a² − 12ab ＋ 9b²

まとめ

① 2乗	最初と最後をそれぞれ2乗
② 真ん中	2つをかけて2倍
③ 符号	真ん中の符号はかっこの中と同じ

次回は「乗法公式③　和と差の積（a＋b）（a−b）」。真ん中の項が消える、すっきりした公式を学びます。