「連続する2つの正の整数の積が56」のような文章題は、式を立てて解くと答えが2つ出ることがあります。そのとき、どちらが答えなのでしょうか。この記事では、二次方程式の文章題の4ステップと、「問題に合う解だけを残す」確かめ方を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 文章題の4ステップ（xを決める → 式を作る → 解く → 問題に合う解だけ残す）
- 解が2つ出たとき、どちらを捨てるかの判断
- 土地と道・箱の問題など、図形の文章題の立て方
- 両方の解が答えになる場合の見分け方
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モコロ先生とボア太の掛け合いで進みます。シリーズ最終回です。
① 文章題の4ステップ
- わからない数をxにする
- 式を作る
- 解く
- 問題に合う解だけ残す
二次方程式では、解が2つ出ます。この2つは「オーディションの参加者」のようなもの。問題の条件（正の数・整数・長さ・範囲）が審査員で、合格した解だけが答えになります。
② 例題
例題1 連続する2つの正の整数の積が56。2つの整数は？
小さい方を x とすると、大きい方は x ＋ 1。x（x ＋ 1）＝ 56 → x² ＋ x − 56 ＝ 0 → （x ＋ 8）（x − 7）＝ 0 → x ＝ −8、7。「正の整数」なので −8 は不合格。答え：7 と 8
例題2 連続する2つの整数の積が90。2つの整数は？
x（x ＋ 1）＝ 90 → x² ＋ x − 90 ＝ 0 → （x ＋ 10）（x − 9）＝ 0 → x ＝ 9、−10。今度は「正の」という条件がないので、どちらも整数で合格です。答え：9 と 10、または −10 と −9
例題3 ある正の数を2乗すると、もとの数の3倍より10大きい。ある数は？
x² ＝ 3x ＋ 10 → x² − 3x − 10 ＝ 0 → （x − 5）（x ＋ 2）＝ 0 → x ＝ 5、−2。正の数なので −2 は不合格。答え：5
例題4 縦10m、横15mの土地に、同じ幅の道を縦と横に1本ずつ通す。残りの面積が84m²のとき、道の幅は？
道の幅を x m とすると、残りは（10 − x）（15 − x）m²（道を端に寄せて考えます）。（10 − x）（15 − x）＝ 84 → x² − 25x ＋ 66 ＝ 0 → （x − 3）（x − 22）＝ 0 → x ＝ 3、22。22mは土地の縦10mをこえるので不合格。答え：3m
例題5 正方形の紙の四すみから1辺2cmの正方形を切り取って箱を作ると、容積は50cm³。紙の1辺は？
紙の1辺を x cm とすると、箱の底は1辺（x − 4）cm、高さは2cm。2（x − 4）² ＝ 50 → （x − 4）² ＝ 25 → x − 4 ＝ ±5 → x ＝ 9、−1。長さは負になれないので 答え：9cm（平方根で解ける形でした）。
例題6 まわりの長さが26cm、面積が40cm²の長方形。縦と横は？
縦を x cm とすると、横は 13 − x cm。x（13 − x）＝ 40 → x² − 13x ＋ 40 ＝ 0 → （x − 5）（x − 8）＝ 0 → x ＝ 5、8。縦5・横8でも、縦8・横5でも条件に合います。答え：縦5cm・横8cm、または縦8cm・横5cm（2人とも合格する例です）
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：解が2つ出て、どちらも答えにしてしまう
横が縦より4cm長い、面積60cm²の長方形で、x（x ＋ 4）＝ 60 → （x ＋ 10）（x − 6）＝ 0 → x ＝ 6、−10。縦は 6cm だけです。−10 は長さになれません。
間違い②：確かめをしないで終わる
解を出したら、必ず問題文を読み直して、正・整数・範囲などの条件に合うかをチェックします。
間違い③：両方合格する問題で、片方を捨てる
例題2や例題6のように、2つとも条件に合うこともあります。捨てるかどうかは、解の正負ではなく問題文で決めます。
④ 練習問題
問1：連続する2つの正の整数の積が110。2つの整数は？
問2：ある正の数の2乗は、もとの数の4倍より21大きい。ある数は？
答え
問1：x（x ＋ 1）＝ 110 → x² ＋ x − 110 ＝ 0 → （x ＋ 11）（x − 10）＝ 0 → x ＝ 10（−11は不合格）。10 と 11 ／ 問2：x² ＝ 4x ＋ 21 → （x − 7）（x ＋ 3）＝ 0 → x ＝ 7（−3は不合格）。答え：7
まとめ
| 4ステップ | xを決める → 式を作る → 解く → 問題に合う解だけ残す |
|---|---|
| 確かめ | 正・整数・長さ・範囲などの条件を読み直す |
| 注意 | 両方残ることも、片方だけのこともある |
これで二次方程式の全10回が終わりです。使った道具をまとめてふり返る「総まとめ」の記事も、あわせてご覧ください。
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