【中2数学】多角形の内角と外角｜内角の和は180°×(n−2)、外角の和はいつも360°！

五角形、六角形…と、多角形の角の和は、どうやって求めるのでしょう？ この記事では、多角形の内角の和は180°×(n−2)、外角の和はいつも360°という約束を、例題・よくある間違いつきで解説します（中2「平行と合同」第6回）。

この記事でわかること

• n角形の内角の和を求める公式 180°×(n−2)
• 外角の和がどんな多角形でも360°であること
• 正多角形の1つの外角・内角の求め方
• よくある間違い（180°×n にしてしまう）

動画で確認したい方はこちら

モコロ先生とだいふくの掛け合いで進みます。動画は約10分です。

① 多角形の角の約束（3つ）

• ① n角形の内角の和は 180°×(n−2)
• ② 外角の和は、どんな多角形でも360°
• ③ 正n角形の1つの外角は 360°÷n、1つの内角は 180°−外角

1つの頂点から対角線を引くと、多角形が三角形にばらけます。その三角形の数が (n−2) 個です。

② 例題

例題1　七角形の内角の和は？

180 × (7 − 2) ＝ 900°。

例題2　内角の和が 1260° の多角形は何角形？

180 × (n − 2) ＝ 1260 → n − 2 ＝ 7 → n ＝ 9 で九角形。

例題3　正八角形の1つの外角と1つの内角は？

外角 ＝ 360 ÷ 8 ＝ 45°、内角 ＝ 180 − 45 ＝ 135°。

例題4　1つの外角が 20° の正多角形は何角形？

360 ÷ 20 ＝ 18 で十八角形。1つの内角は 180 − 20 ＝ 160°。

③ よくある間違い

間違い①：内角の和を 180°×n にしてしまう

十一角形の内角の和は 180 × 11 ＝ 1980° ではなく、180 × (11 − 2) ＝ 1620°。(n−2) を忘れないように。

間違い②：外角の和が多角形によって変わると思う

外角の和は、三角形でも十角形でも、いつも360°です。

間違い③：正多角形の1つの内角を、内角の和÷2 などで求める

内角の和 ÷ n、または 180° − 外角 で求めます。

④ 練習問題

問1：十角形の内角の和は？

問2：正十角形の1つの外角と1つの内角は？

答え

問1：180 × (10 − 2) ＝ 1440°　／　問2：外角 360 ÷ 10 ＝ 36°、内角 180 − 36 ＝ 144°

まとめ

① 内角の和	180°×(n−2)
② 外角の和	いつも360°
③ 正n角形	外角＝360°÷n、内角＝180°−外角

次回は「合同な図形」。ぴったり重なる図形を学びます。