中3で習う「y＝ax²」。中1の比例（y＝ax）と何がちがうのか、「2乗に比例する」とはどういう意味なのか、最初でつまずく人が多い単元です。この記事では、2乗に比例する関数とは何かを、表の読み方・見分け方・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 「2乗に比例する」の意味（x が2倍・3倍になると y は4倍・9倍）
- y＝ax² という式の形と、比例定数 a の見つけ方
- 式を見て「2乗に比例か」を見分けるコツ
- x が負の数のときの表の読み方
- y＝x²＋1 のようなひっかけの見抜き方
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① 2乗に比例するってどういうこと？
タイルの正方形の床を考えます。1辺が2倍になると、面積は2倍ではなく4倍になります。1辺が3倍なら面積は9倍です。このように、x が2倍・3倍になるとき y が 2² ＝ 4倍・3² ＝ 9倍になる関係が「y は x の2乗に比例する」です。
式で書くと次の形になります。
- y ＝ ax²（a は 0 でない決まった数。比例定数といいます）
中1の比例 y ＝ 3x では、x が2倍なら y も2倍です。y ＝ 3x² では x が2倍なら y は4倍。ここが大きなちがいです。
② 例題
例題1 y ＝ x² の表を作る（x ＝ 1、2、3）
x ＝ 1 のとき y ＝ 1、x ＝ 2 のとき y ＝ 4、x ＝ 3 のとき y ＝ 9。x が2倍になると y は4倍、3倍になると y は9倍になっています。
例題2 2乗に比例するのはどれ？
正方形の1辺を x としたとき、面積 y ＝ x² は2乗に比例します。まわりの長さ y ＝ 4x は x に比例で、2乗ではありません。円の面積 y ＝ πx² は半径 x の2乗に比例します（比例定数は π）。
例題3 式を見て見分ける
y ＝ 4x² ○ ／ y ＝ 4x ＋ 2 × ／ y ＝ −2x² ○ ／ y ＝ （1/3）x² ○。「a × x²」だけの形なら、a がマイナスや分数でも2乗に比例です。
例題4 y ＝ 2x² の表（x が負の数も）
x ＝ −3 のとき y ＝ 2 ×（−3）² ＝ 2 × 9 ＝ 18。x ＝ −2 → 8、x ＝ −1 → 2、x ＝ 0 → 0、x ＝ 1 → 2、x ＝ 2 → 8、x ＝ 3 → 18。左右（正と負）で同じ数が並ぶのが特ちょうです。（−3）² は 9（−9 ではありません）。
例題5 表から a を見つける
y ÷ x² を計算すると、いつも同じ数（比例定数 a）になります。たとえば x ＝ 2 のとき y ＝ 20 なら、20 ÷ 4 ＝ 5 なので y ＝ 5x²。x ＝ 2 のとき y ＝ −12 なら、−12 ÷ 4 ＝ −3 なので y ＝ −3x²。
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：x が2倍なら y も2倍と考える
y ＝ 3x² で x ＝ 2 から x ＝ 4 になると、y は 12 から 48（4倍）になります。24（2倍）ではありません。
間違い②：y ＝ x² ＋ 1 も2乗に比例と思う
y ＝ x² ＋ 1 は「＋1」があるので、2乗に比例ではありません。x ＝ 1 で y ＝ 2、x ＝ 2 で y ＝ 5。x が2倍でも y は4倍にならないからです。
間違い③：x が負の数のとき、答えも負にしてしまう
（−3）² ＝ 9 です。2乗すると必ず正の数（または0）になるので、a が正なら y は負になりません。
④ 練習問題
問1：y は x の2乗に比例し、比例定数が 7 のとき、式を書きましょう。
問2：y ＝ 6x² で、x が 3倍になると y は何倍になりますか。
答え
問1：y ＝ 7x² ／ 問2：3² ＝ 9 より、9倍
まとめ
| 2乗に比例 | y ＝ ax²（a ≠ 0）。x が2倍・3倍なら y は4倍・9倍 |
|---|---|
| 見分け方 | a × x² だけの形。＋1 などがつくとダメ |
| a の見つけ方 | a ＝ y ÷ x² |
| 注意 | （−3）² ＝ 9。x が正負で同じ y が並ぶ |
次回は、y ＝ ax² の「式の求め方」を解説します。
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