y ＝ ax² の a が変わると、グラフはどう変わるのでしょうか。a の符号で開く向きが、a の絶対値で開き方が決まります。この記事では、例題・よくある間違いつきで、a の値とグラフの形の関係を解説します。
この記事でわかること
- a が正なら上に開き、負なら下に開く
- a の絶対値が大きいほど細く、小さいほど広い
- y ＝ ax² と y ＝ −ax² は x軸について対称
- グラフの形から式を選ぶ・並べる方法
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モコロ先生とフィン音の掛け合いで進みます。動画は約10分です。
① aとグラフの3つの約束
- a が正なら上に開き、負なら下に開く
- a の絶対値が大きいほど、グラフは細くなる
- y ＝ ax² と y ＝ −ax² は、x軸について対称
放物線は「器」のようなもの。a が正なら上向きのお椀、負なら伏せたお椀です。絶対値が大きいと細長いコップ、小さいと平たいお皿。見るときはまず符号（上か下か）、次に絶対値（細いか広いか）の2段階です。
② 例題
例題1 y ＝ 3x²、y ＝ x²、y ＝ （1/3）x² でいちばん細いのは？
x ＝ 1 のとき y は 3、1、1/3。同じ x で y が大きいほど急に立ち上がるので、y ＝ 3x² がいちばん細いグラフです。
例題2 y ＝ x² と y ＝ −x² をくらべる
x ＝ 2 で y は 4 と −4。同じ形で、上向きと下向きが x軸をはさんで対称になっています。
例題3 特ちょうに合う式を選ぶ（y ＝ 2x²、（1/2）x²、−x²、−3x²）
下に開いていちばん細い → −3x²。上に開いて広い → （1/2）x²。下に開いて広い → −x²。上に開いて細い → 2x²。
例題4 a ＝ 2、−1/2、−4、1 を、開き方が小さい順に並べる
絶対値は 2、1/2、4、1。開き方が小さい（細い）順に並べると −4、2、1、−1/2。
例題5 点（−3, 3）を通る y ＝ ax² の式は？
3 ＝ a × （−3）² ＝ 9a より a ＝ 1/3。y ＝ （1/3）x²。
例題6 y ＝ （1/3）x² と x軸について対称なグラフの式は？
a の符号だけを変えて y ＝ −（1/3）x²。
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：a が大きいほど広いと思う
逆です。a の絶対値が大きいほど細くなります。
間違い②：−3 は −1 より小さいから広い、と思う
開き方は符号ではなく絶対値で比べます。y ＝ −3x² と y ＝ −x² なら、絶対値が大きい −3x² のほうが細く、広いのは −x² です。
間違い③：a が1より小さい分数だと下に開くと思う
y ＝ （1/2）x² は a が正なので、上に開く広いグラフです。上か下かは符号だけで決まります。
④ 練習問題
問1：y ＝ 4x²、y ＝ −（1/2）x²、y ＝ −3x² のうち、いちばん広いのはどれですか。
問2：y ＝ 5x² と x軸について対称なグラフの式は何ですか。
答え
問1：絶対値は 4、1/2、3。いちばん小さいのは 1/2 なので、y ＝ −（1/2）x² ／ 問2：y ＝ −5x²
まとめ
| ① 向き | a が正なら上、負なら下 |
|---|---|
| ② 開き方 | a の絶対値が大きいほど細い |
| ③ 対称 | y ＝ ax² と y ＝ −ax² は x軸について対称 |
次回は、x の範囲を決めたときの y の範囲、変域を解説します。0をまたぐときの注意がポイントです。
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