平方完成は便利ですが、毎回やるのは大変です。そこで登場するのが解の公式。a・b・c の3つの数を入れるだけで、どんな二次方程式も必ず解けます。この記事では、解の公式の使い方、a・b・c の読み方、符号のミスの防ぎ方を、例題つきで解説します。
この記事でわかること
- 解の公式とその使い方4ステップ
- a・b・c を符号ごと読むコツ
- −b と b² でマイナスの数にかっこをつける理由
- 解の公式がどこから来たか（平方完成とのつながり）
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約9分、モコロ先生とボア太の掛け合いで進みます。
① 解の公式
ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解は、次の式で求められます。
x ＝ （−b ± √（b² − 4ac））/ 2a
この公式は、ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 を平方完成で解いた結果です。解の公式は「自動販売機」のようなもの。a・b・c の3枚のコインを正しく入れれば、ボタン1つで答えが出てきます。ただし、コインの向き（符号）を間違えると別の答えが出てしまいます。
② 使い方4ステップ
- ＝0の形に整理する
- a・b・c を符号ごと読む
- 公式に入れる
- 計算する
例：x² ＝ 4x ＋ 3 は、まず x² − 4x − 3 ＝ 0 に整理して、a ＝ 1、b ＝ −4、c ＝ −3。
③ 例題
例題1 3x² ＋ 5x ＋ 1 ＝ 0
a ＝ 3、b ＝ 5、c ＝ 1。b² − 4ac ＝ 25 − 12 ＝ 13
x ＝ （−5 ± √13）/6
例題2 x² − 5x ＋ 2 ＝ 0
a ＝ 1、b ＝ −5、c ＝ 2。b² − 4ac ＝ 25 − 8 ＝ 17
x ＝ （5 ± √17）/2
例題3 2x² ＋ 3x − 4 ＝ 0
a ＝ 2、b ＝ 3、c ＝ −4。b² − 4ac ＝ 9 ＋ 32 ＝ 41
x ＝ （−3 ± √41）/4
例題4 x² ＋ x − 5 ＝ 0
a ＝ 1、b ＝ 1、c ＝ −5。b² − 4ac ＝ 1 ＋ 20 ＝ 21
x ＝ （−1 ± √21）/2
④ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：b が負のとき、−b を「−7」と書く
x² − 7x ＋ 3 ＝ 0 では b ＝ −7 なので、−b ＝ 7。b² − 4ac ＝ 49 − 12 ＝ 37 で、x ＝ （7 ± √37）/2。
間違い②：（−3）² を −9 にする
2x² − 3x − 1 ＝ 0 では b ＝ −3。b² は （−3）² ＝ 9。b² − 4ac ＝ 9 ＋ 8 ＝ 17 で、x ＝ （3 ± √17）/4。マイナスの数にはかっこをつけて計算しましょう。
間違い③：＝0に整理せずに a・b・c を読む
必ず右辺を0にしてから読みます。
⑤ 練習問題
問1：2x² − 7x ＋ 2 ＝ 0 を解きましょう。
問2：x² ＋ 3x − 5 ＝ 0 を解きましょう。
答え
問1：a ＝ 2、b ＝ −7、c ＝ 2。b² − 4ac ＝ 49 − 16 ＝ 33 → x ＝ （7 ± √33）/4 ／ 問2：a ＝ 1、b ＝ 3、c ＝ −5。b² − 4ac ＝ 9 ＋ 20 ＝ 29 → x ＝ （−3 ± √29）/2
まとめ
| 解の公式 | x ＝ （−b ± √（b² − 4ac））/ 2a |
|---|---|
| 手順 | ＝0に整理 → a・b・c を符号ごと読む → 入れる → 計算 |
| 注意 | −b と b² はマイナスの数にかっこをつける |
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