二次方程式 x² ＋ 4x − 3 ＝ 0 は、因数分解も平方根もそのままでは使えません。そんなときの切り札が平方完成です。この記事では、平方完成とは何か、たす数の見つけ方、いろいろな形の解き方、テストで多いひっかけを、例題つきで解説します。
この記事でわかること
- 平方完成とは何か（足りない角のピースをたす考え方）
- たす数は「xの係数の半分の2乗」
- 係数が奇数のとき・x²の係数が1でないときの解き方
- 左辺だけにたして右辺を忘れるミスの防ぎ方
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約8分半、モコロ先生とボア太の掛け合いで進みます。
① 平方完成とは？ 足りない角のピースをたす
x² を正方形、4x を細長い長方形2枚（2x ずつ）と考えて並べると、角に小さな正方形のすき間ができます。そこにピースをはめると、大きな正方形（x ＋ 2）² が完成します。
x² ＋ 4x に 4 をたすと、x² ＋ 4x ＋ 4 ＝ （x ＋ 2）² になります。このように式を（x ＋ m）² の形にすることが平方完成です。
たす数 ＝ xの係数の半分の2乗（4x なら 4÷2＝2、その2乗で 4）
そして、たしたら右辺にも同じ数をたすのが約束です（天びんのバランスと同じです）。
② 例題：x² ＋ 4x − 3 ＝ 0 を解こう
- 定数項を右辺へ：x² ＋ 4x ＝ 3
- 両辺に4をたす：x² ＋ 4x ＋ 4 ＝ 3 ＋ 4
- 左辺を整理：（x ＋ 2）² ＝ 7
- 平方根で解く：x ＋ 2 ＝ ±√7
答え：x ＝ −2 ± √7
③ いろいろな形
例題1 x² − 8x ＋ 10 ＝ 0
x² − 8x ＝ −10 → 両辺に16 → （x − 4）² ＝ 6 → x ＝ 4 ± √6
例題2 x² ＋ 3x − 1 ＝ 0（係数が奇数）
半分は 3/2、その2乗は 9/4。x² ＋ 3x ＝ 1 → 両辺に 9/4 → （x ＋ 3/2）² ＝ 13/4 → x ＝ （−3 ± √13）/2
分数になってもあわてず、同じ手順で進めればOKです。
例題3 3x² − 12x ＋ 6 ＝ 0（x²の係数が1でない）
まず両辺を3で割って x² − 4x ＋ 2 ＝ 0。x² − 4x ＝ −2 → 両辺に4 → （x − 2）² ＝ 2 → x ＝ 2 ± √2
例題4 x² ＋ 10x ＋ 17 ＝ 0
x² ＋ 10x ＝ −17 → 両辺に25 → （x ＋ 5）² ＝ 8 → x ＋ 5 ＝ ±2√2 → x ＝ −5 ± 2√2
④ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：左辺だけにたして、右辺にたし忘れる
x² ＋ 6x ＝ 5 で左辺だけに9をたして （x ＋ 3）² ＝ 5 とするのはNGです。正しくは両辺に9をたして （x ＋ 3）² ＝ 14、x ＝ −3 ± √14。
間違い②：因数分解できずに止まる
因数分解できない二次方程式こそ、平方完成の出番です。
間違い③：係数が奇数でうろたえる
半分が分数になるだけで、手順は変わりません。
⑤ 練習問題
問1：x² − 2x − 8 ＝ 0 を平方完成で解きましょう。
問2：x² ＋ 6x − 2 ＝ 0 を解きましょう。
問3：x² − 10x ＋ 18 ＝ 0 を解きましょう。
答え
問1：x² − 2x ＝ 8 → 両辺に1 → （x − 1）² ＝ 9 → x ＝ 4、−2 ／ 問2：x² ＋ 6x ＝ 2 → 両辺に9 → （x ＋ 3）² ＝ 11 → x ＝ −3 ± √11 ／ 問3：x² − 10x ＝ −18 → 両辺に25 → （x − 5）² ＝ 7 → x ＝ 5 ± √7
まとめ
| 平方完成とは | 式を（x ＋ m）² の形にすること |
|---|---|
| たす数 | xの係数の半分の2乗 |
| 約束 | たしたら右辺にも同じ数をたす |
次回は、この平方完成を一般の形で行ってできた「解の公式」を解説します。
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