解の公式で出した答えが「x ＝ （−6 ± √28）/2」のまま、という人は多いです。計算は合っていても、実はまだ途中。テストでは、答えを整えた形で書くのが決まりです。この記事では、解の公式の答えを整える2ステップ（√を簡単にする・約分する）を、例題・よくある間違いつきで解説します。
この記事でわかること
- 答えを整える2ステップ（√の中を簡単に → 全部の項を同じ数でわる）
- （−6 ± √28）/2 を −3 ± √7 に整える流れ
- √の中が2乗の数になると、ルートがはずれて答えが2つに分かれること
- 分子の片方だけわる・わりすぎるミスの防ぎ方
動画で確認したい方はこちら
モコロ先生とボア太の掛け合いで進みます。
① 答えを整える2ステップ
答えを整えるのは「提出前の身だしなみ」です。
- 顔を洗う：√の中を簡単にする（√28 ＝ 2√7 など）
- 服をたたむ：分子の2つの項と分母が、全部同じ数でわれるときだけ約分する
② 例題
例題1 x² ＋ 6x ＋ 2 ＝ 0
解の公式より x ＝ （−6 ± √28）/2。①√28 ＝ 2√7 → （−6 ± 2√7）/2。②−6、2√7、2 は全部2でわれるので x ＝ −3 ± √7。分母が1になったら、分数の線ごと消えます。
例題2 x² − 4x − 1 ＝ 0
x ＝ （4 ± √20）/2。√20 ＝ 2√5 → （4 ± 2√5）/2 → x ＝ 2 ± √5
例題3 2x² ＋ x − 3 ＝ 0
b² − 4ac ＝ 1 ＋ 24 ＝ 25。25は5の2乗なので、ルートがはずれます。x ＝ （−1 ± 5）/4。たす方は 4/4 ＝ 1、ひく方は −6/4 ＝ −3/2。x ＝ 1、−3/2
ちなみにこの式は（2x ＋ 3）（x − 1）＝ 0 と因数分解しても、同じ答えになります。ルートの中が2乗の数になるときは、因数分解できることが多いです。
例題4 x² ＋ 8x ＋ 13 ＝ 0
b² − 4ac ＝ 64 − 52 ＝ 12。x ＝ （−8 ± √12）/2 ＝ （−8 ± 2√3）/2 ＝ −4 ± √3。b が偶数のときは、分子が全部2でわれて分数が消えることが多いです。
例題5 3x² − 6x ＋ 1 ＝ 0
b² − 4ac ＝ 36 − 12 ＝ 24。x ＝ （6 ± √24）/6 ＝ （6 ± 2√6）/6。全部2でわって x ＝ （3 ± √6）/3。分母が3のまま残りますが、3・√6・3 に共通してわれる数はもうないので、これで完成です。
③ よくある間違い（ひっかけ）
間違い①：分子の片方の項だけわる
x² − 10x ＋ 7 ＝ 0 は x ＝ （10 ± √72）/2 ＝ （10 ± 6√2）/2。ここで10だけを2でわって 5 ± 6√2 とするのはNGです。分母のわり算は分子の全部の項に配るので、正しくは x ＝ 5 ± 3√2。
間違い②：わりすぎる
2x² − 8x ＋ 5 ＝ 0 は x ＝ （8 ± 2√6）/4 ＝ （4 ± √6）/2。ここでさらに2でわって 2 ± √6 とするのはNGです。√6 は2でわり切れません。ルートの中の数を勝手にわってはいけません。x ＝ （4 ± √6）/2 で完成です。
間違い③：整えないまま答えにする
（−6 ± √28）/2 のままでは未完成。√を簡単にして、約分まで進めましょう。
④ 練習問題
問1：x² − 10x ＋ 5 ＝ 0 を解いて、答えを整えましょう。
問2：2x² − 4x − 1 ＝ 0 を解いて、答えを整えましょう。
答え
問1：b² − 4ac ＝ 100 − 20 ＝ 80、√80 ＝ 4√5。x ＝ （10 ± 4√5）/2 ＝ 5 ± 2√5 ／ 問2：b² − 4ac ＝ 16 ＋ 8 ＝ 24、√24 ＝ 2√6。x ＝ （4 ± 2√6）/4 ＝ （2 ± √6）/2
まとめ
| ① 顔を洗う | √の中を簡単にする |
|---|---|
| ② 服をたたむ | 全部の項が同じ数でわれるときだけ約分する |
| 注意 | 片方だけわらない・わりすぎない |
| ボーナス | √の中が2乗の数なら、ルートがはずれて2つに分けられる |
次回は、平方根・因数分解・解の公式のどれを使うか、解き方の選び方を解説します。
コメント